Hace más de 50 años, el matemático polaco-estadounidense Mark Kac popularizó una pregunta disparatada pero matemáticamente profunda en su artículo de 1966 «¿Se puede oír la forma de un tambor?» En otras palabras, si oyes a alguien tocar un tambor y conoces las frecuencias de los sonidos que produce, ¿puedes trabajar hacia atrás para averiguar la forma del tambor que creó esos sonidos? ¿O puede más de una forma de tambor crear exactamente el mismo conjunto de frecuencias?

Kac no fue la primera persona en plantear esta pregunta o preguntas relacionadas, pero sí que consiguió una atención considerable por el tema. En 1968 ganó el Premio Chauvenet de la Asociación Matemática de América, que se centra en la exposición matemática, por su artículo de 1966. «Está muy bien escrito y es muy accesible», dice Julie Rowlett, matemática de la Universidad Tecnológica de Chalmers (Suecia).

El trabajo de Kac hizo que estos problemas, que se enmarcan en un campo matemático llamado geometría isoespectral, pasaran a ser el centro de atención, inspirando a los investigadores a plantear preguntas similares para diferentes formas y superficies. Su trabajo dio origen a un área de investigación que sigue activa y en crecimiento en la actualidad.

Escuchar los tambores

Más de 20 años después del artículo de Kac, tres matemáticos demostraron que no se puede escuchar la forma de un tambor. El equipo fue capaz de producir múltiples ejemplos de tambores con diferentes geometrías que creaban las mismas frecuencias de sonidos.

Los descubrimientos de los investigadores empezaron a cristalizar de una forma nueva mientras una de las matemáticas -Carolyn Gordon, ahora profesora emérita del Dartmouth College- se encontraba en una breve visita a Europa. Había viajado al Instituto de Investigación Matemática de Oberwolfach, en Alemania, enclavado en la Selva Negra. A pesar de todas las ventajas de ir a un «lugar idílico en el que estás muy lejos de todo», dice Gordon, su estancia en Oberwolfach «coincidió con la semana en la que todo encajaba» para la investigación del equipo sobre las formas auditivas.

Llevaba años trabajando en problemas relacionados. La tesis doctoral de Gordon consistía en estudiar cómo discernir «si dos formas presentadas de forma abstracta» son iguales, dice. A través de esta otra cuestión de investigación, se «deslizó» a trabajar en el problema del tambor.

Pero el instituto no estaba preparado para que los visitantes se comunicasen fácilmente con el mundo exterior. «Había un teléfono que se podía utilizar a ciertas horas de la noche, pero había que hacer cola», dice Gordon. «Era un reto conectarse, pero fue una época emocionante». Uno de los otros matemáticos de su equipo, David Webb, casado con Gordon, comparte recuerdos similares. «Intentábamos resolver la cuestión de la forma más rápida y eficaz posible, porque la cuestión llevaba abierta bastante tiempo y estábamos ansiosos por conseguir algo escrito», dice Webb, que ahora es matemático en Dartmouth.

El punto de inflexión se produjo cuando los investigadores se dieron cuenta de que un ejemplo que Gordon pensaba que no iba a funcionar era justo lo que necesitaban para mostrar dos tambores de forma diferente que suenan igual. «Se nos ocurrieron ideas para otros pares que eran mucho más complicados. Hicimos estas enormes construcciones de papel» para representar tambores de diferentes formas, y luego «intentamos aplastarlos», dice. Después de crear esas «monstruosidades» de papel, como las llamó Webb, los matemáticos descubrieron que no funcionaban. «Y entonces volvimos al par original y nos dimos cuenta de que estaba bien», dice Gordon.

Efectivamente, su trabajo había respondido a una pregunta que los investigadores anteriores consideraban intratable. En 1882, Arthur Schuster, un físico británico de origen alemán, escribió: «Averiguar las diferentes melodías enviadas por un sistema vibratorio es un problema que puede ser o no resoluble en ciertos casos especiales, pero que desconcertaría al más hábil [sic] matemático resolver el problema inverso y averiguar la forma de una campana por medio de los sonidos que es capaz de emitir».

El descubrimiento fue un paso importante, pero aún dejó muchas preguntas sin respuesta.

La regla o la excepción

En las últimas décadas, los investigadores han resuelto multitud de problemas sobre la «audición» de los sonidos de las formas.

Resulta que puede oír la forma de un triángulo, un resultado demostrado por primera vez en la tesis doctoral de Catherine Durso en 1988 para el Instituto Tecnológico de Massachusetts. También se puede oír la forma de los paralelogramos y los trapecios agudos, según un artículo de 2015 de Rowlett y Zhiqin Lu, matemático de la Universidad de California en Irvine. Ambas formas producen sonidos únicos. Y ese trabajo arrojó otros hallazgos interesantes, explica Rowlett.

«Digamos que estás haciendo tambores cuadriláteros, es decir, con cuatro bordes rectos», dice. «Podrías escuchar uno cuadrado. Tendría un sonido especial. Y lo mismo para los tambores triangulares: un tambor triangular equilátero sonaría especial, no como los demás». Además, para cualquier tambor poligonal regular -una forma con longitudes de lados iguales y ángulos interiores iguales- «siempre se podría escuchar entre los demás. Y me gusta pensar que sonaría especialmente bien», dice Rowlett.

También se puede oír la forma de un cono truncado, es decir, un cono al que se le ha cortado la punta, según informan los investigadores en el número de diciembre de 2021 de Physical Review E. También en 2021 Rowlett y sus colegas demostraron que se puede discernir la forma de un trapecio a partir de los sonidos si no es obtuso.

Sin embargo, entre todos los resultados individuales sobre la audición de las formas, otro equipo de investigadores señaló una idea pendiente: queda por ver si es generalmente cierto que se puede discernir el contorno de un tipo de forma o superficie determinada a partir de sus sonidos.

La cuestión de la relación entre una forma y su conjunto de frecuencias asociadas «está lejos de estar cerrada, tanto desde el punto de vista teórico como práctico», escribieron los investigadores en un documento de 2018 presentado en la Conferencia IEEE/CVF sobre Visión por Computador y Reconocimiento de Patrones. «En concreto, aún no se sabe con certeza si los contraejemplos», como el caso del tambor, «son la regla o la excepción». Hasta ahora, todo apunta a lo segundo».

Algunas de las cuestiones relativas a las formas «auditivas» han llevado a los investigadores a lugares que resultan difíciles de imaginar: las dimensiones superiores.

Visitando dimensiones fantásticas

Uno de los recientes artículos de Rowlett se refiere a un problema resuelto en 1964 por el matemático John Milnor, actualmente en la Universidad de Stony Brook. Se trata de viajar más allá de las conocidas tres dimensiones del espacio a un reino matemático de 16 dimensiones difícil de imaginar.

«Estamos pensando en [flat] tori», dice Rowlett. En una dimensión, un toroide «es sólo un círculo», señala. En tres dimensiones, los matemáticos describen a menudo los toros como si tuvieran la forma de un donut glaseado, aunque normalmente sólo se refieren a la superficie de la delicia azucarada, no a sus entrañas pastosas.

Pero Milnor consideró lo que ocurre cuando se escuchan las formas de superficies aún más misteriosas y abstractas: los tori de 16 dimensiones. Descubrió, básicamente, que no se puede escuchar la forma de los tori en 16 dimensiones.

Puede parecer extraño saltar a la 16ª dimensión, pero hay razones sorprendentemente prácticas para hacerlo. «Cuantas más dimensiones tienes, más formas hay de que las cosas sean geométricamente diferentes», dice Rowlett. Así, este caso era en realidad «un ejemplo sencillo en el que era fácil ver» esas diferencias, señala.

El artículo de Milnor, de una sola página, «inspiró en gran medida a Kac. Así que fue una contribución fundamental para hacer crecer este campo», dice Rowlett. Pero el trabajo de Milnor dejó abierta la cuestión de si se puede escuchar la forma de los toros planos de dimensiones inferiores. «¿Qué pasa con los de 15 dimensiones o los de 14?» pregunta Rowlett.

El reciente artículo de Rowlett en preimpresión, del que es coautora junto con dos investigadores que entonces eran sus estudiantes, fue motivado por su deseo de descubrir «el punto de inflexión» entre el momento en que se puede y no se puede oír la forma de un toro plano. «Tres es el número mágico», lo que significa que no se puede oír la forma de los toros en cuatro o más dimensiones, dice.

Pero para llegar a esa respuesta, el equipo de Rowlett tuvo que tomar un camino tortuoso. Sorprendentemente, sus entonces estudiantes Erik Nilsson y Felix Rydell descubrieron que la pregunta ya había sido respondida. Pero la solución del problema estaba enterrada en un trabajo de los años 90 del matemático Alexander Schiemann.

La conexión entre el trabajo de Schiemann y la pregunta que Rowlett se planteaba estaba tan amortiguada por las diferencias matemáticas que había escapado al reconocimiento general. Esto se debe, en gran medida, a que la respuesta a la pregunta «se publicó utilizando exclusivamente el lenguaje de la teoría de los números», dice. Palabras clave como «isoespectral» no se mencionaban. «El artículo que lo demuestra matemáticamente ni siquiera menciona la palabra ‘toro'», señala.

Por lo tanto, en su artículo aún no publicado, Rowlett, Nilsson y Rydell proporcionan tres perspectivas matemáticas -analítica, geométrica y teórica de los números- sobre el problema que estudió Schiemann, tendiendo puentes que conectan los aspectos técnicos de la comprensión de sus resultados desde los tres puntos de vista matemáticos.

«La gente que se interesa por este tipo de problemas tiene entonces acceso, además, a las herramientas de los distintos campos», dice Rowlett. Quizá ahora, cuando un equipo diferente necesite sacar un resultado relacionado, no tenga que escarbar tanto en su búsqueda, dice.

Ampliación de las matemáticas

A finales del siglo XIX, cuando Schuster reflexionaba sobre el inmenso reto que suponía determinar la forma de una campana por los sonidos que emite, los micrófonos eran una tecnología nueva. Más de 130 años después, un equipo de investigadores utilizó los micrófonos de una forma que podría haber sorprendido a Schuster. Los emplearon para demostrar que, en cierto modo, se pueden oír las formas de las habitaciones, concretamente las convexas y poliédricas.

Utilizando unos pocos micrófonos dispuestos en una configuración arbitraria, el algoritmo informático de los investigadores «reconstruye toda la geometría 3D de la habitación a partir de una sola emisión de sonido», escribieron en un artículo de 2013. Los científicos señalaron que sus descubrimientos podrían aplicarse a problemas de acústica arquitectónica, realidad virtual y análisis forense de audio, entre otros.

El panorama de la investigación en torno a la audición de diferentes formas y superficies ha cambiado considerablemente desde la época de Schuster. Con el continuo encuentro de mentes matemáticas de diferentes campos y los avances adicionales en la tecnología, quién sabe qué nuevos sonidos y formas explorarán los matemáticos en las próximas décadas.

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